کلاس هفتم و ماشین حساب

به نظر می رسد دانش آموزان من ، علاقه ی زیادی برای استفاده از ماشین حساب در کلاس ریاضی دارند .

و این موضوع با روش من که ناخوداگاه به ماشین حساب به عنوان یک حل مسئله الکترونیکی نگاه می کردم سازگاری ندارد .

دانش آموزان هفتم دبستان در کیف خود ماشین حساب های ارزان قیمت ولی کارآمدی همراه دارند ، البته بیشتر برای امتحان کردن پاسخ خود از ماشین حساب ها استفاده می کنند . حق با آنهاست ، حتی در کلاس ششم هم به طور رسمی از ماشین حساب استفاده می کردند ( به عنوان مثال  صفحات ۲۵ و ۳۰ کتاب ششم را ببینید)

آنها حتی عملیات جالبی هم با ماشین حساب انجام می دهند .

خوب یا بد ، آنها علاقه دارند تا عملیات مختلف را با ماشین حساب هم انجام دهند . یکی از این عملیات پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد و یا کوچکترین مضرب مشترک دو عدد می باشد .

در ادامه مطلب روش این کار را توضیح می دهم .

ب . م .م بوسیله کم کردن ) اگر a و b دو عدد طبیعی باشند آنگاه داریم  :

(a , b) = (a – b , b )

مثال ) بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد ۵۴۶ و ۳۹۰ را پیدا کنید  .

(۵۴۶ , ۳۹۰ ) = ( ۵۴۶ -۳۹۰ , ۳۹۰ )

                  = (۱۵۶ , ۳۹۰ )

                  = ( ۳۹۰-۱۵۶ , ۱۵۶)

                  = ( ۲۳۴ , ۱۵۶)

                  = ( ۷۸ , ۱۵۶)

                  = ( ۷۸ , ۷۸)

                  = ۷۸

این روش همان الگوریتم اقلیدسی است . اقلیدس این حقیقت را برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد با کم کردن تکراری عدد کوچکتر از عدد بزرگتر به کار برد .

به کمک یک ماشین حساب می توان ب . م .م دو عدد را اینگونه حساب کرد :

از آنجا که دو عدد آخری در خط پایانی مساوی هستند پس بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد ۳۹۰ و ۵۴۶ برابر ۷۸ است .

اگر از حافظه ماشین حساب هم استفاده کنیم این عملیات سریعتر خواهد شد . امتحان کنید !

برای اعداد خیلی بزرگ ، روش بالا کمی اصلاح می شود .

فرض کنید می خواهیم بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد ۱۴۱۷ و ۲۶ را پیدا کنیم .

۲۶ باید چندین بار تفریق شود تا مقدار کمتر یا مساوی خودش ایجاد شود . از آنجا که به تقسیم می توان به عنوان تفریق های تکراری نگاه کرد پس می توانیم با یک تقسیم کار چندین تفریق را انجام دهیم .

در اینجا ۲۶ از ۱۴۱۷ به اندازه ۵۴ بار کم شده است تا ۱۳ باقی مانده است . ب.م.م دو عدد ۲۶ و ۱۳ هم خود ۱۳ می باشد .

(۱۴۱۷ , ۲۶ ) = ( ۱۳ , ۲۶ ) = ۱۳

ب .م .م  بوسیله تقسیم با باقیمانده ) اگر a و b دو عدد طبیعی باشند و a=bq+r  و r

(a , b) = ( r , b)

این روش هنگامی که عدد بزرگتر بسیار بزرگتر از عدد کوچکتر باشد کارآمد تر از روش کم کردن است  . در حقیقت بسیاری از کم کردن ها توسط فقط یک تقسیم کردن جایگزین می گردد . اما الگوریتم اساسا همان است – تقسیم کردن صرفا نوعی کم کردن تکراری است – لذا هچنان روش ما صحیح است .  ۱

 می خواهیم بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد ۳۴۳۲ و ۸۴۰ را با ماشین حساب به دست آوریم : 

پس ب .م .م این دو عدد برابر ۲۴ است . این روش را به موازات روش قبل استفاده کنید .

برای محاسبه کوچکترین مضرب مشترک هم می توانیم ب .م .م دو عدد را محاسبه کرده و سپس حاصلضرب دو عدد را بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک ( ب. م .م ) تقسیم کنیم  مضرب های طبیعی عدد بزرگتر را بر عدد کوچکتر تقسیم کنیم تا به کوچکترین مضرب مشترک برسیم .


۱- برای مطالعه بیشتر به کتاب اصول نظریه اعداد با ترجمه زیبای دکتر مجید میرزا وزیری مراجعه کنید .

 

پاسخ دهید

*