ریاضیات به زبان ساده؛ تکنیک هایی برای جمع اعداد یک تا صد ؛ تسلیم مساله نشوید…

بر اساس یک داستان معروف ، گاوس ریاضیدان، در کودکی معلم تنبلی داشت . یک روز این معلم ، تصمیم می گیرد چرت کوتاهی بزند . پس مساله ای برای دانش آموزان مطرح می کند تا سرگرم حل آن شوند .

معلم از دانش آموزان می خواهد تا مجموع اعداد یک تا ۱۰۰ را به دست آورند . پس از لحظاتی گاوس با داشتن جواب پیش معلم می رود : ۵۰۵۰

چقدر زود !! معلم ابتدا شک می کند حقه ای در کار باشد ، اما جواب درست بود .
گاوس برای حل این مساله فرمول زیر را پیدا کرده بود :

و مجموع اعداد یک تا ۱۰۰ برابر است با :

اما فرمول چیزی نیست که ما دنبال آن باشیم .  در ادامه تکنیک های متعددی برای جمع اعداد یک تا ۱۰۰ بررسی می کنیم . البته در تمام این تکنیک ها ، فقط مجموع اعداد یک تا ده را به دست می آوریم ولی نتیجه را می توانیم برای اعداد بزرگتر هم به کار ببریم .

تکنیک اول ) جفت کردن اعداد

یک روش رایج برای حل این مساله ، جفت کردن اعداد است . به جای اینکه تمام اعداد را در یک ردیف بنویسیم ، آنها را در دو ردیف به شکل زیر می نویسیم :

الگوی جالبی پدیدار شد !
مجموع اعداد هر ستون یازده می شود. هر چه اعداد ردیف بالا افزایش پیدا کنند ،اعداد ردیف پایین کم می شوند و مجموع همچنان ثابت می ماند .
چون عدد یک با عدد ۱۰ (همان n مساله) جفت می شود می توانیم این طور بگوییم که مجموع هر ستون n+1 می شود.
خوب، حالا چند جفت از این اعداد داریم ؟ در جواب می گوییم دو ردیف داریم که تعداد ستون هایش مساوی است پس تعداد جفت های اعداد n/2  است .


که همان فرمول بالاست .
صبر کنید !! اگر تعداد اعداد فرد باشد چه کار کنیم ؟
اگر بخواهیم اعداد ۱ تا ۹ را جمع کنیم چطور؟
در این حالت تعداد اعداد زوج نیست که بتوانیم به صورت جفت هایی از اعداد بنویسیم .
چاره کار ساده است . کافی است به جای اینکه از یک شروع کنیم از صفر شروع کنیم . مثل شکل زیر :

خوب حتما الگوی ستون ها را پیدا کرده اید، مجموع اعداد هر ستون برابر ۹ ( یا همان n ) می باشد .
خوب کافی است تعداد ستون ها را بدانیم و آن را در عدد n ضرب کنیم .
در مثال بالا ، ده عدد (n+1 عدد)داریم که در دو ردیف داریم تقسیم شده اند پس تعداد ستون ها برابر نصف این تعداد می باشد .

تکنیک دوم ) استفاده از دو ردیف اعداد
تکنیک اول به درستی عمل می کند ، اما باید برای تعداد زوج و فردی از اعداد روش متفاوتی را به کار گیرید  . تکنیک دوم شاید بهتر به نظر برسد :
اعداد یک تا ده را در دو ردیف به شکل زیر می نویسیم :

خوب ،این بار ده جفت عدد داریم (عدد ده همان n  می باشد)
مجموع هر جفت عدد چند است ؟
مجموع هر جفت از عدد های یازده است (عدد ۱۱ همان n+1 می باشد)
پس مجموع کل اعداد برابر است با :
اما ما فقط مجموع یک ردیف را نیاز داریم نه هر دو تا را ، پس فرمول بالا را تقسیم بر ۲ می کنیم :
\frac{n(n+1)}{2}این روش هم برای تعداد زوج اعداد و هم تعداد فردی از اعداد به درستی عمل می کند .

تکنیک سوم ) مستطیل بسازید.

ممکن است این روش برای شما جالب تر باشد.
به جای نوشتن اعداد ، از نماد \times برای نمایش تعداد واحد های هر عدد استفاده می کنیم . برای نمایش عدد ۱ از یک \times و برای نمایش عدد ۲ از دوتا  \times و به همین ترتیب برای نمایش عدد ۵ از ۵ تا \times استفاده می کنیم.

حالا یک مثلث از این‌ها می سازیم :
خوب مجموع این نمادها، همان عددی است که ما می خواهیم : ۱+۲+۳+۴+۵
برای اینکه یک مستطیل از اینها بسازیم همین تعداد از نمادها را در سمت دیگر قرار می دهیم :

حالا در مجموع چند نماد \times داریم؟ کافی است مساحت مستطیل را محاسبه کنیم .
n ردیف و n+1 ستون داریم  و مساحت مستطیل برابر است با :
اما ما به نیمی از این مساحت نیاز داریم، جواب مساله می شود :
\frac{n(n+1)}{2}که همان فرمول مجموع اعداد یک تا n است.

تکنیک چهارم ) میانگین بگیرید.
همه ما روش به دست آوردن میانگین یا معدل را می دانیم :
که می توانیم مجموع اعداد را به این صورت به دست آوریم :
حالا می خواهیم مجموع اعداد را به دست آوریم . تعداد اعداد را که می دانیم .برای به دست آوردن میانگین به این نکته توجه کنید که اعداد به طور برابری توزیع شده اند.
برای هر عدد بزرگ ، یک عدد کوچک در طرف دیگر وجود دارد . به این مجموعه کوچک توجه کنید :

 ۱ ,۲ ,۳

میانگین مجموعه بالا دو است . دو همان میانه است . به عبارت دیگر یک و سه حذف شده و دو میانگین خواهد بود .
اگر تعداد اعداد زوج باشد مثل :
۱ , ۲ ,۳ ,۴
میانگین بین دو و سه خواهد بود یعنی  ۲.۵ می شود .
توجه کنید که چه تعداد اعداد فرد باشد و چه زوج باشد میانگین اعداد در حقیقت همان ۲/(n+1) می باشد.  با قرار دادن این عبارت در فرمول قبلی داریم  :
آیا روش سریع دیگری را برای محاسبه مجموع اعداد یک تا صد می شناسید ؟


منبع :

http://betterexplained.com/articles/techniques-for-adding-the-numbers-1-to-100/

پاسخ دهید

*