آیا ۱=۰.۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹ است؟

آیا 0.overline 9 = 1 است؟

در ریاضی، اعداد اعشاری متناوب ساده کسرهای ساده نشدنی هستند که در تجزیه مخرجشان هیچ یک از عوامل اول ۲ و ۵ ظاهر نمی‌شوند. مثلا کسر  frac{5}{3} = 1.66666... = 1.overline 6   یک عدد اعشاری متناوب ساده می باشد.

کسرهای زیر هم مربوط به اعداد اعشاری متناوب ساده هستند.

frac{{13}}{{11}} = 1.181818... = 1.overline {18}

frac{7}{9} = 0.77777... = 0.overline 7

در این نوع نمایش، بلافاصله پس از ممیز یک یا چند رقم تکرار می‌شود  که به آنها دوره گردش می‌گویند. حالا ثابت می کنیم که 0.overline 9 = 1 است.

اثبات اول :

frac{1}{9} = 0.11111... = 0.overline 1 {rm{ }} to quad quad 9 times frac{1}{9} = 9 times 0.overline 1 quad to quad 1 = 0.overline 9


اثبات دوم :

x = 0.9999... = 0.overline 9 quad to quad 10x = 9.9999... = 9.overline 9

10x - x = 9.overline 9 - 0.overline 9 quad to quad 9x = 9quad to quad x = 1

 


 

اثبات سوم :

0.overline 2 = frac{2}{9}quad ,quad 0.overline 7 = frac{7}{9}quad quad 0.overline 9 = 0.overline 2 + 0.overline 7 = frac{2}{9} + frac{7}{9} = frac{9}{9} = 1


 

پاسخ دهید

*